任意形状鉄心の空隙磁束分布の解析的計算法

この記事は、書きかけの記事です。（電動機の一般論について勉強中）

この記事の目的は、”とにかく解析的に”空隙境界に生じるマクスウェルの応力分布を求めたい、ということです。

電動機トルクは鉄心に発生するトルクと巻線に発生するトルクに大きく分けられますが、本記事では前者について扱っています。

複素磁位および等角写像法を用いて空隙磁束分布を解析的計算する方法は既に示されていますが、Schwarz-Christoffel変換を用いた多角形の写像に関するものが大半で任意形状鉄心を対象としたものは見当たりません。*1

そこで、本方法では空隙境界に生じる磁位差を入力してマクスウェルの応力を出力することを目的に、前回導出した任意の境界条件に対する複素関数論を応用します。

magma-sanctum.hatenablog.com

・複素磁位の導出

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$z$ 平面（単位円）で境界条件を決定し、 $\zeta$ 平面（物理面）に等角写像する方法

最終的に空隙部の局所磁束密度を

$\left( \dfrac {d f}{d \zeta} \right) _R = \dfrac {d f}{d \theta} \cdot \dfrac {d \theta}{d \zeta} = \left. \dfrac {d f}{d \theta} \right/ \left( \dfrac {d \xi}{d \theta} + i \dfrac {d \eta}{d \theta} \right)$

とすることで、磁束密度の項を空隙形状（鉄心形状）の項から分離して導出する

※空隙形状の関数はフーリエ級数展開により導出（前回記事を参照）

複素磁位 $f$ を $z=0$ 周りで（ $z \rightarrow \infty$ で発散しないように）展開すると

$f = \phi + i \psi = s \log z + \left( B_x - i B_y \right) z + \displaystyle \sum_{1}^{\infty} \left( P_n + i Q_n \right) z^{- n}$

$\phi = Re ( s ) \log r - Im ( s ) \theta + r \left( B_x \cos \theta + B_y \sin \theta \right) + \displaystyle \sum_{0}^{\infty} r^{- n} \left( P_n \cos n \theta + Q_n \sin n \theta \right)$

周方向磁束密度は

$B_\theta = \dfrac {1}{r} \dfrac {\partial \phi}{\partial \theta} = - \dfrac {Im ( s )}{r} - B_x \sin \theta + B_y \cos \theta + \displaystyle \sum_{0}^{\infty} n r^{- n - 1} \left( - P_n \sin n \theta + Q_n \cos n \theta \right)$

ここで、単位円上（ $r = R ( = 1 / 2 )$ ）の周方向磁束密度分布に境界条件として $b_\theta ( \theta )$ を与えフーリエ級数展開することで係数比較をする

$\dfrac {Im ( s )}{R} = - \dfrac {1}{2 \pi} \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} b_\theta \, d \theta$

$B_x + \dfrac {P_1}{R^2} = - \dfrac {1}{\pi} \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} b_\theta \sin \theta \, d \theta$ , $B_y + \dfrac {Q_1}{R^2} = \dfrac {1}{\pi} \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} b_\theta \cos \theta \, d \theta$

$n R^{-n-1} P_n = - \dfrac {1}{\pi} \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} b_\theta \sin ( n \theta ) \, d \theta$ , $n R^{-n-1} Q_n = \dfrac {1}{\pi} \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} b_\theta \cos ( n \theta ) \, d \theta$

複素速度ポテンシャルに係数を戻して

$f = \left( Re ( s ) + i Im ( s ) \right) \left( \log R + i \theta \right) + \left( r - \dfrac {R^2}{r} \right) \left( B_x \cos \theta +B_y \sin \theta \right) + i \left( r + \dfrac {R^2}{r} \right) \left( - B_y \cos \theta + B_x \sin \theta \right) \\ + \dfrac {R}{\pi} \displaystyle \sum_{1}^{\infty} \dfrac {1}{n} \left( \dfrac {R}{r} \right)^n \left( - \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} b_\theta \sin ( n \theta ) \, d \theta + i \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} b_\theta \cos ( n \theta ) \, d \theta \right) \left( \cos n \theta - i \sin n \theta \right)$

以降 $r = R ( = 1 / 2 )$ として

$\dfrac {d f}{d \theta} = \left( - Im ( s ) + i Re ( s ) \right) + 2 i R \left( B_x \cos \theta + B_y \sin \theta \right) \\ + \dfrac {R}{\pi} \displaystyle \sum_{1}^{\infty} \left( \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} b_\theta \sin ( n \theta ) \, d \theta - i \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} b_\theta \cos ( n \theta ) \, d \theta \right) \left( \sin n \theta + i \cos n \theta \right)$

磁束密度場を実部（周方向磁束密度であり磁位差に相当）と虚部（半径方向磁束密度）に分ける

$\dfrac {d \phi}{d \theta} = \dfrac {R}{2 \pi} \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} b_\theta \, d \theta + \dfrac {R}{\pi} \displaystyle \sum_{1}^{\infty} \left \{ \left( \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} b_\theta \sin ( n \theta ) \, d \theta \right) \sin n \theta + \left( \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} b_\theta \cos ( n \theta ) \, d \theta \right) \cos n \theta \right \} = R b_\theta ( \theta )$

$\dfrac {d \psi}{d \theta} = Re ( s ) + 2 R \left( B_x \cos \theta + B_y \sin \theta \right) - \dfrac {R}{\pi} \displaystyle \sum_{1}^{\infty} \left \{ \left( - \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} b_\theta \sin ( n \theta ) \, d \theta \right) \cos n \theta + \left( \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} b_\theta \cos ( n \theta ) \, d \theta \right) \sin n \theta \right \} \\ = Re ( s ) + 2 R \left( B_x \cos \theta + B_y \sin \theta \right) - R {b_\theta}^*$

(ここで ${b_\theta}^* ( \theta )$ は”共役フーリエ級数”)

よって、半径方向磁束密度は以下のように求められた

$b_r ( \theta ) = \dfrac {Re ( s )}{R} + 2 \left( B_x \cos \theta + B_y \sin \theta \right) + \dfrac {1}{2 \pi} \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \left( b_\theta ( \varphi ) -b_\theta ( \theta ) \right) \cot \dfrac {\varphi - \theta}{2} \, d \theta$